Équiprobabilité

Propriété

On considère une expérience aléatoire d'univers \(\Omega\).
Soit \(n\) un entier naturel non nul et \(k\) un entier naturel compris entre 1 et \(n\).
On suppose que \(\Omega\) contient \(n\) issues. Soit \(A\) un événement constitué de \(k\) issues.
On définit une loi de probabilité, associée à cette expérience aléatoire, telle que chaque issue est équiprobable.
On a alors \(P(A)=k\times\dfrac{1}{n}=\dfrac{k}{n}\).

Remarque

\(P(A)\) est alors le quotient du nombre d'éléments de \(A\) par le nombre d'éléments de \(\Omega\).
On dit aussi que \(P(A)\) est le quotient du nombre de "cas favorables à \(A\)" par le nombre de "cas possibles". Ainsi, pour calculer la probabilité de l'événement \(A\), il s'agit de dénombrer (compter) les éléments des ensembles \(A\) et \(\Omega\).

Exemple

Une urne contient \(12\) boules. Les boules numérotées de \(1\) à \(5\) sont vertes et les autres sont noires. Elles sont indiscernables au toucher. On tire au hasard une boule de cette urne.

On considère les deux événements suivants : \(A\) : "Tirer une boule verte" et \(B\) : "Tirer un numéro impair".
L'univers \(\Omega\)  est constitué de toutes les boules. Donc le nombre d'éléments de \(\Omega\) est \(12\).
\(A=\{1\;;2\;;3\;;4\;;5\}\) car les boules numérotés de \(1\) à \(5\) sont vertes. Donc l'événement \(A\) est constitué de \(5\) issues.

L'événement \(B=\{1\;;3\;;5\;;7\;;9\;;11\}\). Donc l'événement \(B\) est constitué de \(6\) issues. 

On définit une loi de probabilité associée à cette expérience aléatoire, dans laquelle chaque issue est équiprobable.
Par conséquent \(P(A)=\dfrac{5}{12}\) et \(P(B)=\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}\).
On considère l'événement \(\overline{A}\) : "Tirer une boule noire". On a :  \(P(\overline{A})=1-P(A)=1-\dfrac{5}{12}=\dfrac{7}{12}\).
On considère l'événement \(A\cap B\) : "Tirer une boule verte et un numéro impair". L'événement \(A\cap B=\{1\;;3\;;5\}\) d'où \(P(A\cap B)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}\).

On considère l'événement \(A\cup B\) : "Tirer une boule verte ou un numéro impair". On a \(A\cup B=\{1\;;2\;;3\;;4\;;5\;;7\;;9\;;11\}\) d'où \(P(A\cup B)=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}\).
On retrouve ce résultat par l'égalité :
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{5}{12}+\dfrac{6}{12}-\dfrac{3}{12}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}\).